Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna – zabawka matematyczna, służąca do pokazywania prawdziwości różnych twierdzeń matematycznych wątpliwej przydatności.

Przykłady wykorzystania

Parzystość wszystkich liczb

Korzystając z indukcji matematycznej można udowodnić, że wszystkie dodatnie liczby całkowite są parzyste.

Baza

0 jest liczbą całkowitą dodatnią i parzystą.

Krok indukcyjny dla n

Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest parzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n1 + n2, gdzie n1, n2<n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n1 i n2 są parzyste, to ich suma też jest liczbą parzystą. A więc n jest liczbą parzystą, cnd.

Nieparzystość wszystkich liczb

Korzystając z indukcji matematycznej można udowodnić, że wszystkie dodatnie liczby całkowite są nieparzyste.

Baza

1 jest liczbą całkowitą dodatnią i nieparzystą.

Krok indukcyjny dla n

Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest nieparzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n1 + n2 + 1, gdzie n1, n2<n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n1 i n2 są nieparzyste, to ich suma plus 1 jest liczbą nieparzystą. A więc n jest liczbą nieparzystą, cnd.

Wieczna środa

Korzystając z indukcji matematycznej można udowodnić, że w rzeczywistości, każdy dzień tygodnia jest środą.

Baza

Za co najwyżej 6 dni na pewno będzie środka. Równocześnie ostatnia środa skończyła się także co najwyżej 6 dni wstecz.

Krok indukcyjny dla n

Załóżmy, że istnieje taka środa t, że wszystkie poprzedzające ją dni są też środą. Należy wykazać, że dzień t+1 także jest środą. Ponieważ wszystkie dni poprzedzające dzień t były środą, to była nią też dzień t-6 (dzień 6 dni przed dniem t). Dzień t-6 był dokładnie tydzień przed dniem t+1, a ponieważ dni tygodnia powtarzają się cyklicznie co tydzień, to dnia t+1 była środa.