Edytujesz „Indukcja matematyczna”
Z Nonsensopedii, polskiej encyklopedii humoru
Uwaga: Nie jesteś zalogowany. Jeśli wykonasz jakąkolwiek zmianę, Twój adres IP będzie widoczny publicznie. Jeśli zalogujesz się lub utworzysz konto, Twoje zmiany zostaną przypisane do konta, wraz z innymi korzyściami.
Ta edycja może zostać anulowana. Porównaj ukazane poniżej różnice między wersjami, a następnie zapisz zmiany.
Aktualna wersja | Twój tekst | ||
Linia 27: | Linia 27: | ||
:0 jest liczbą całkowitą nieujemną i parzystą. |
:0 jest liczbą całkowitą nieujemną i parzystą. |
||
;Krok indukcyjny dla n |
;Krok indukcyjny dla n |
||
:Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest parzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n<sub>1</sub> + n<sub>2</sub>, gdzie n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub><n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n<sub>1</sub> i n<sub>2</sub> są parzyste, to ich suma też jest liczbą parzystą. A więc n jest liczbą parzystą. |
:Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest parzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n<sub>1</sub> + n<sub>2</sub>, gdzie n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub><n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n<sub>1</sub> i n<sub>2</sub> są parzyste, to ich suma też jest liczbą parzystą. A więc n jest liczbą parzystą. |
||
=== Nieparzystość wszystkich liczb === |
=== Nieparzystość wszystkich liczb === |
||
Linia 35: | Linia 35: | ||
:1 jest liczbą całkowitą dodatnią i nieparzystą. |
:1 jest liczbą całkowitą dodatnią i nieparzystą. |
||
;Krok indukcyjny dla n |
;Krok indukcyjny dla n |
||
:Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest nieparzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n<sub>1</sub> + n<sub>2</sub> + 1, gdzie n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub><n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n<sub>1</sub> i n<sub>2</sub> są nieparzyste, to ich suma plus 1 jest liczbą nieparzystą. A więc n jest liczbą nieparzystą. |
:Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest nieparzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n<sub>1</sub> + n<sub>2</sub> + 1, gdzie n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub><n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n<sub>1</sub> i n<sub>2</sub> są nieparzyste, to ich suma plus 1 jest liczbą nieparzystą. A więc n jest liczbą nieparzystą. |
||
=== Wieczna środa === |
=== Wieczna środa === |
||
Linia 43: | Linia 43: | ||
:Za co najwyżej 6 dni na pewno będzie środa. Równocześnie ostatnia środa skończyła się także co najwyżej 6 dni temu. |
:Za co najwyżej 6 dni na pewno będzie środa. Równocześnie ostatnia środa skończyła się także co najwyżej 6 dni temu. |
||
;Krok indukcyjny dla n |
;Krok indukcyjny dla n |
||
:Załóżmy, że istnieje taki dzień tygodnia t, że t jest środą oraz wszystkie dni poprzedzające t także wypadały w środę. Należy wykazać, że dzień t+1 także wypada w środę. Ponieważ wszystkie dni poprzedzające dzień t były środą, to był nią w szczególności dzień t-6 (dzień wypadający 6 dni przed dniem t). Dzień t-6 był dokładnie tydzień przed dniem t+1, a ponieważ dni tygodnia powtarzają się cyklicznie co siedem, to dnia t+1 także była środa. |
:Załóżmy, że istnieje taki dzień tygodnia t, że t jest środą oraz wszystkie dni poprzedzające t także wypadały w środę. Należy wykazać, że dzień t+1 także wypada w środę. Ponieważ wszystkie dni poprzedzające dzień t były środą, to był nią w szczególności dzień t-6 (dzień wypadający 6 dni przed dniem t). Dzień t-6 był dokładnie tydzień przed dniem t+1, a ponieważ dni tygodnia powtarzają się cyklicznie co siedem, to dnia t+1 także była środa. |
||
=== Wszystkie psy są białe === |
=== Wszystkie psy są białe === |
||
Linia 54: | Linia 54: | ||
:Załóżmy, że dla wszystkich co najwyżej n-elementowych zbiorów psów twierdzenie jest prawdziwe. Rozważmy teraz n+1 elementowy zbiór psów, w którym wyróżnimy jednego psa. Nazwijmy go Azor. |
:Załóżmy, że dla wszystkich co najwyżej n-elementowych zbiorów psów twierdzenie jest prawdziwe. Rozważmy teraz n+1 elementowy zbiór psów, w którym wyróżnimy jednego psa. Nazwijmy go Azor. |
||
:Załóżmy teraz nie wprost, że Azor nie jest biały. Zbiór składający się z wszystkich psów poza Azorem jest z założenia indukcyjnego zbiorem psów maści białej. Wyróżnijmy teraz innego psa, Pimpka i rozważmy zbiór składający się z Azora i pozostałych psów z wyłączeniem Pimpka. Ten zbiór także z założenia indukcyjnego składa się z psów maści białej, a więc wbrew założeniu Azor jest biały. Dochodzimy do sprzeczności przez założenie, że w zbiorze n+1 psów znajduje się pies niebiały. |
:Załóżmy teraz nie wprost, że Azor nie jest biały. Zbiór składający się z wszystkich psów poza Azorem jest z założenia indukcyjnego zbiorem psów maści białej. Wyróżnijmy teraz innego psa, Pimpka i rozważmy zbiór składający się z Azora i pozostałych psów z wyłączeniem Pimpka. Ten zbiór także z założenia indukcyjnego składa się z psów maści białej, a więc wbrew założeniu Azor jest biały. Dochodzimy do sprzeczności przez założenie, że w zbiorze n+1 psów znajduje się pies niebiały. |
||
=== Suma ciągu arytmetycznego === |
=== Suma ciągu arytmetycznego === |
||
Linia 69: | Linia 69: | ||
:a z definicji ciągu arytmetycznego |
:a z definicji ciągu arytmetycznego |
||
::<math>S_2 = S_3 - a_3</math> |
::<math>S_2 = S_3 - a_3</math> |
||
:Złożenie ostatnich dwóch równości daje nam układ tautologiczny. Tym samym udowodniliśmy, że dowodzone twierdzenie jest [[tautologia|tautologią]]. |
:Złożenie ostatnich dwóch równości daje nam układ tautologiczny. Tym samym udowodniliśmy, że dowodzone twierdzenie jest [[tautologia|tautologią]]. |
||
{{Matematyka}} |
{{Matematyka}} |