Równanie trygonometryczne

Równanie trygonometryczne – szczególny rodzaj równania, w którym oprócz literek i cyferek pojawiają się słówka sin, cos, tg, ctg, cosh itp.. Równania te zostały wynalezione przez starożytnych Greków w celu dręczenia dzieci objętych obowiązkiem edukacji matematyki.

Sposób dowodzenia prawdziwości równania trygonometrycznego

Aby dowieść prawdziwość równania trygonometrycznego, np.:

cos (x/n) = sin²(x) * π

należy:

• zapisać lewą i prawą stronę równania w odpowiednio lewy górnym i prawym dolnym rogu kartki
• korzystając z podstawowych praw trygonometrii i algebry w sposób dowolny przekształcać i rozwijać równania w następujący sposób:
  • jeżeli rozwijamy lewą stronę równania, dopisujemy = nowe rozwinięcie po prawej stronie ostatniej wartości, lub linijkę niżej po lewej stronie
  • jeżeli rozwijamy prawą stronę równania, dopisujemy nowe rozwinięcie = po lewej stronie ostatniej wartości, lub linijkę wyżej po prawej stronie
• gdy nie już miejsca na dopisanie nowej postaci, stawiamy = łączący oba ciągi

Przykład

Udowodnimy, że sin(x)=cos(x) dla przykładu niewielkiej kartki:

sin(x)

                                             cos(x)

sin(x) = sin(x) + 1 - 1

        cos(x)*(sqrt(cos(x))^(-2) + cos(x)  = cos(x)

sin(x) = sin(x) + 1 - 1 = sqrt(cos^2(x) - 1) + (3sqrt(3)/sqrt(27))

        cos(x)*(sqrt(cos(x))^(-2) + cos(x)  = cos(x)

sin(x) = sin(x) + 1 - 1 = sqrt(cos^2(x) - 1) + (3sqrt(3)/sqrt(27)) = 

      =  cos(x)*(sqrt(cos(x))^(-2) + cos(x)  = cos(x)

W ten sposób udowodniliśmy, że sin(x)=cos(x)