Paradoks Banacha-Tarskiego: Różnice pomiędzy wersjami
(nowa strona) |
Znacznik: edytor wizualny |
||
Linia 17: | Linia 17: | ||
* [[Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp]] |
* [[Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp]] |
||
* [[Twierdzenie o równouprawnieniu]] |
* [[Twierdzenie o równouprawnieniu]] |
||
[[Kategoria:Matematyka]] |
Wersja z 23:07, 7 sie 2023
Paradoks Banacha-Tarskiego – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że jedną kulę można rozbić na 5 części, z których, za pomocą samych obrotów i przesunięć, można złożyć dwie identyczne kule. Polski wkład w obalenie matematyki.
Co?
Jeszcze raz: z jednej kuli można złożyć dwie, dokładnie takie same. Jest to prawdziwe twierdzenie w matematyce. Jeżeli nie wierzysz nam, uwierz im. Pierwsze zetknięcie się z paradoksem zwykle wywołuje wstrząs u ludzi, którzy myśleli, że matematyka jest zrozumiała, brak reakcji zaś obserwuje się głównie u tych, dla których przestała być, i to już dawno. Początkowy etap wstrząsu to wyparcie. Czytelnik jest sceptyczny i ma szereg zastrzeżeń w stylu: Ale te kule nie są na pewno puste w środku? Przecież nie da się tak zrobić, tu musi być gdzieś jakiś haczyk. I tak dalej. Tymczasem żadnego haczyka nie ma. Masz jedną kulę, dzielisz ją na części, przesuwasz je, obracasz i masz dwie identyczne. Proste jak życiorys Mietka. Nawet czterolatkowi można to wytłumaczyć.
Jedną z potocznych, żartobliwych interpretacji paradoksu jest sformułowanie: z ziarnka grochu można zrobić słońce. Trzeba wyjaśnić, że jest to oczywista nieprawda. Na budowę obiektu tej wielkości trzeba mieć zgodę urzędnika w randze co najmniej starosty powiatowego, a prawdopodobieństwo, że ten jej udzieli, jest zerowe. Gdyby było inaczej, już mielibyśmy masę brzydkich, zielonych słońc, budowanych przez rozmaitych debili dzięki zastosowaniu twierdzenia.
Dowód
Ćwiczenie dla czytelnika. Tu można obejrzeć ciekawy filmik z praktyczną demonstracją działania twierdzenia na przykładzie rozłożenia piłki do gry w gałę.
Wnioski
Oznaczmy przez V objętość dowolnej kuli. Wiadomo, że objętość zostaje zachowana przez obroty i przesunięcia. To oczywiste, zatem na mocy paradoksu Banacha-Tarskiego V=2V. Dzieląc przez V dostajemy 1=2, po odjęciu jedynki od obu stron 0=1. Mnożąc tę równość przez cokolwiek, otrzymujemy wniosek, że wszystkie liczby są równe. W ten sposób podaliśmy alternatywny dowód twierdzenia o równouprawnieniu.
Zastosowania
W 1973 paradoks Banacha-Tarskiego został zastosowany przez tow. Gierka do podwojenia krajowej produkcji kul armatnich.