Paradoks Banacha-Tarskiego

Widzisz tę kulę? Matematyk widzi dwie

Paradoks Banacha-Tarskiego – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że jedną kulę można rozbić na 5 części, z których, za pomocą samych obrotów i przesunięć, można złożyć dwie identyczne kule. Polski wkład w obalenie podstawowych zasad matematyki.

Co?

Jeszcze raz: z jednej kuli można złożyć dwie, dokładnie takie same. Jest to prawdziwe twierdzenie w matematyce. Pierwsze zetknięcie się z paradoksem zwykle wywołuje wstrząs u ludzi, którzy myśleli, że matematyka jest zrozumiała, brak reakcji zaś obserwuje się głównie u tych, dla których przestała być, i to już dawno. Początkowy etap wstrząsu to wyparcie. Czytelnik jest sceptyczny wobec paradoksu i ma szereg zastrzeżeń w stylu: Ale te kule nie są na pewno puste w środku? Przecież nie da się tak zrobić, tu musi być gdzieś jakiś haczyk. I tak dalej. Tymczasem żadnego haczyka nie ma. Masz jedną kulę, dzielisz ją na części, przesuwasz je, obracasz i masz dwie identyczne. Proste jak życiorys pana Mietka spod monopolowego.

Jedną z potocznych, żartobliwych interpretacji paradoksu jest sformułowanie: z ziarnka grochu można zrobić słońce. Trzeba wyjaśnić, że jest to oczywista nieprawda. Na budowę obiektu tej wielkości trzeba mieć zgodę urzędnika w randze co najmniej starosty powiatowego, a prawdopodobieństwo, że ten jej udzieli, jest zerowe. Gdyby było inaczej, już mielibyśmy masę brzydkich, zielonych słońc, które by powstawały dzięki zastosowaniu twierdzenia.

Wnioski

Oznaczmy przez V objętość dowolnej kuli. Wiadomo, że objętość zostaje zachowana przez obroty i przesunięcia. To oczywiste, zatem na mocy paradoksu Banacha-Tarskiego V=2V. Dzieląc przez V dostajemy 1=2, po odjęciu jedynki od obu stron 0=1. Mnożąc tę równość przez cokolwiek, otrzymujemy wniosek, że wszystkie liczby są równe. W ten sposób podaliśmy alternatywny dowód twierdzenia o równouprawnieniu.

Zastosowania

W 1973 paradoks Banacha-Tarskiego został zastosowany przez tow. Gierka do podwojenia krajowej produkcji kul armatnich.

Zobacz też

• Matematyka
• Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp
• Twierdzenie o równouprawnieniu