Teoria stożka: Różnice pomiędzy wersjami
M (<math>) |
M (Robot wykonał kosmetyczne poprawki) |
||
Linia 4: | Linia 4: | ||
'''Teoria stożka''' – matematyczny dowód na to, dlaczego tzw. „połówka” (kieliszka) połówką nie jest. |
'''Teoria stożka''' – matematyczny dowód na to, dlaczego tzw. „połówka” (kieliszka) połówką nie jest. |
||
==Wstęp i założenia teoretyczne== |
== Wstęp i założenia teoretyczne == |
||
Teoria stożka, zwana również alkoholową teorią stożka, jest pierwszym matematycznym dowodem na to, że tzw. połówka (słowo często używane w zwrocie: ''Nalej mi połówkę'') niekoniecznie połówką być musi. Zjawisko picia „połówek” występuje głównie u [[kobieta|kobiet]], rzadziej u mężczyzn – dzięki teorii stożka pełny po brzegi [[kieliszek]] też jest połówką. Wynika to z budowy owego naczynia które jest często [[paraboloida obrotowa|paraboloidą obrotową]] – czyli w połowie wysokości tejże przestrzennej figury jest mniej niż połowa objętości, jaką można w tej figurze umieścić. |
Teoria stożka, zwana również alkoholową teorią stożka, jest pierwszym matematycznym dowodem na to, że tzw. połówka (słowo często używane w zwrocie: ''Nalej mi połówkę'') niekoniecznie połówką być musi. Zjawisko picia „połówek” występuje głównie u [[kobieta|kobiet]], rzadziej u mężczyzn – dzięki teorii stożka pełny po brzegi [[kieliszek]] też jest połówką. Wynika to z budowy owego naczynia które jest często [[paraboloida obrotowa|paraboloidą obrotową]] – czyli w połowie wysokości tejże przestrzennej figury jest mniej niż połowa objętości, jaką można w tej figurze umieścić. |
||
==Pomiar szkliwa (kieliszka)== |
== Pomiar szkliwa (kieliszka) == |
||
[[Plik:wykres2d22.jpg|thumb|200px|Rys. 1 – tworząca stożka w układzie 2d]] |
[[Plik:wykres2d22.jpg|thumb|200px|Rys. 1 – tworząca stożka w układzie 2d]] |
||
Do zobrazowania dowodu, który został przedstawiony poniżej, został przeprowadzony [[pomiar]] cech parametrycznych (wymiarów) kieliszka (quasi-stożka) o równoległych do siebie płaszczyznach dolnej (dna) i górnej. W teorii posługujemy się ściętym stożkiem, a nie paraboloidą obrotową, aby ułatwić zrozumienie zagadnienia – wyniki dla obu tych figur przestrzennych są niemal jednakowe. (Tworząc matematyczny obraz kieliszka jako stożka unikamy wprowadzania bardziej skomplikowanych [[wzór matematyczny|wzorów]]). |
Do zobrazowania dowodu, który został przedstawiony poniżej, został przeprowadzony [[pomiar]] cech parametrycznych (wymiarów) kieliszka (quasi-stożka) o równoległych do siebie płaszczyznach dolnej (dna) i górnej. W teorii posługujemy się ściętym stożkiem, a nie paraboloidą obrotową, aby ułatwić zrozumienie zagadnienia – wyniki dla obu tych figur przestrzennych są niemal jednakowe. (Tworząc matematyczny obraz kieliszka jako stożka unikamy wprowadzania bardziej skomplikowanych [[wzór matematyczny|wzorów]]). |
||
Linia 15: | Linia 15: | ||
* Promień podstawy górnej: <math>R=(1,9\pm0,1) cm</math> |
* Promień podstawy górnej: <math>R=(1,9\pm0,1) cm</math> |
||
Do dalszych obliczeń błąd [[miernik |
Do dalszych obliczeń błąd [[miernik]]a (w tym wypadku [[linijka|linijki]]) nie będzie uwzględniany, gdyż zarówno ten błąd jak i odchyłka od wartości średniej pomiaru jest stosunkowo bardzo mała od spodziewanych wyników i nie wpływa na ostateczny wynik. |
||
Zmierzone wartości przenosimy na dwuwymiarowy [[układ współrzędnych]]. Ważne jest, aby rysunek był zrobiony czytelnie i możliwie jak najdokładniej (Rys. 1). Otrzymując równanie tworzącej stożka <math>y=5x-4</math>. Jako, że współczynnik <math>a</math> jest wartością funkcji tangens kąta między osią <math>x</math>, a tworzącą, otrzymujemy kąt nachylenia tworzącej 78 stopni. |
Zmierzone wartości przenosimy na dwuwymiarowy [[układ współrzędnych]]. Ważne jest, aby rysunek był zrobiony czytelnie i możliwie jak najdokładniej (Rys. 1). Otrzymując równanie tworzącej stożka <math>y=5x-4</math>. Jako, że współczynnik <math>a</math> jest wartością funkcji tangens kąta między osią <math>x</math>, a tworzącą, otrzymujemy kąt nachylenia tworzącej 78 stopni. |
||
Linia 23: | Linia 23: | ||
* <math><4cm, 9,5cm></math> – stożek właściwy (mierzalny), tzw. komora wódkowa lub komora szczęścia |
* <math><4cm, 9,5cm></math> – stożek właściwy (mierzalny), tzw. komora wódkowa lub komora szczęścia |
||
==Dowód założeń teoretycznych== |
== Dowód założeń teoretycznych == |
||
[[Plik:stozek3d2.jpg|thumb|right|200px|Rys. 2 – quasi-stożek; granice całkowania]] |
[[Plik:stozek3d2.jpg|thumb|right|200px|Rys. 2 – quasi-stożek; granice całkowania]] |
||
[[Plik:granice3d2.jpg|thumb|right|200px|Rys. 3 – granice całkowania]] |
[[Plik:granice3d2.jpg|thumb|right|200px|Rys. 3 – granice całkowania]] |
||
Linia 70: | Linia 70: | ||
* <math>Vd<Vg</math> |
* <math>Vd<Vg</math> |
||
Pierwszy wniosek: Połówki nie są sobie równe, oraz wniosek drugi – kluczowy – połowa objętości jest zawarta na przedziale względem wysokości od jej połowy do całej wysokości <math>H</math>. Uwzględniając brak przyrządów pomiarowych (mierników) oraz błąd paralaksy ludzkiego oka |
Pierwszy wniosek: Połówki nie są sobie równe, oraz wniosek drugi – kluczowy – połowa objętości jest zawarta na przedziale względem wysokości od jej połowy do całej wysokości <math>H</math>. Uwzględniając brak przyrządów pomiarowych (mierników) oraz błąd paralaksy ludzkiego oka udowodniliśmy tezę, iż nasza „połówka” jest zawarta na przedziale <<math>1/2H,H</math>> w naszym konkretnym badanym przypadku <math><6.75cm, 9,5cm></math>. |
||
==Uwagi== |
== Uwagi == |
||
Dysponując aparatem matematycznym, a konkretnie rachunkiem całkowym, udowodniliśmy słuszność i prawdziwość tezy. Przedstawiona teoria dla samej matematyki i nauk pokrewnych nie jest ważna i istotna, lecz ma duże znaczenie społeczne. Bardzo dobrze sprawdza się tam, gdzie w określonej przestrzeni i w określonym czasie znajduje się wiele osób w celu [[libacja|zamierzonej konsumpcji]]. Należy brać pod uwagę, że teoria jest prawdziwa dla kieliszków w kształcie paraboloidy obrotowej lub stożka (kieliszki o tworzącej nachylonej pod kątem 0-30 stopni względem osi symetrii najlepiej nadają się do spożywania płynów). Dla kieliszków typowo cylindrycznych traci sens. |
Dysponując aparatem matematycznym, a konkretnie rachunkiem całkowym, udowodniliśmy słuszność i prawdziwość tezy. Przedstawiona teoria dla samej matematyki i nauk pokrewnych nie jest ważna i istotna, lecz ma duże znaczenie społeczne. Bardzo dobrze sprawdza się tam, gdzie w określonej przestrzeni i w określonym czasie znajduje się wiele osób w celu [[libacja|zamierzonej konsumpcji]]. Należy brać pod uwagę, że teoria jest prawdziwa dla kieliszków w kształcie paraboloidy obrotowej lub stożka (kieliszki o tworzącej nachylonej pod kątem 0-30 stopni względem osi symetrii najlepiej nadają się do spożywania płynów). Dla kieliszków typowo cylindrycznych traci sens. |
||
{{Fizyka}} |
{{Fizyka}} |
||
[[Kategoria:Fizyka]] |
[[Kategoria:Fizyka]] |
Wersja z 22:43, 13 sie 2013
Teoria stożka – matematyczny dowód na to, dlaczego tzw. „połówka” (kieliszka) połówką nie jest.
Wstęp i założenia teoretyczne
Teoria stożka, zwana również alkoholową teorią stożka, jest pierwszym matematycznym dowodem na to, że tzw. połówka (słowo często używane w zwrocie: Nalej mi połówkę) niekoniecznie połówką być musi. Zjawisko picia „połówek” występuje głównie u kobiet, rzadziej u mężczyzn – dzięki teorii stożka pełny po brzegi kieliszek też jest połówką. Wynika to z budowy owego naczynia które jest często paraboloidą obrotową – czyli w połowie wysokości tejże przestrzennej figury jest mniej niż połowa objętości, jaką można w tej figurze umieścić.
Pomiar szkliwa (kieliszka)
Do zobrazowania dowodu, który został przedstawiony poniżej, został przeprowadzony pomiar cech parametrycznych (wymiarów) kieliszka (quasi-stożka) o równoległych do siebie płaszczyznach dolnej (dna) i górnej. W teorii posługujemy się ściętym stożkiem, a nie paraboloidą obrotową, aby ułatwić zrozumienie zagadnienia – wyniki dla obu tych figur przestrzennych są niemal jednakowe. (Tworząc matematyczny obraz kieliszka jako stożka unikamy wprowadzania bardziej skomplikowanych wzorów).
- Wysokość:
- Promień podstawy dolnej:
- Promień podstawy górnej:
Do dalszych obliczeń błąd miernika (w tym wypadku linijki) nie będzie uwzględniany, gdyż zarówno ten błąd jak i odchyłka od wartości średniej pomiaru jest stosunkowo bardzo mała od spodziewanych wyników i nie wpływa na ostateczny wynik.
Zmierzone wartości przenosimy na dwuwymiarowy układ współrzędnych. Ważne jest, aby rysunek był zrobiony czytelnie i możliwie jak najdokładniej (Rys. 1). Otrzymując równanie tworzącej stożka . Jako, że współczynnik jest wartością funkcji tangens kąta między osią , a tworzącą, otrzymujemy kąt nachylenia tworzącej 78 stopni.
Do dowodu przyjmujemy wysokość 9,5 cm gdzie:
- – nierzeczywiste przedłużenie stożka tzw. nóżka
- – stożek właściwy (mierzalny), tzw. komora wódkowa lub komora szczęścia
Dowód założeń teoretycznych
W dowodzie właściwym udowodnimy – groteskowo stwierdzając – że „połówka” występuje w każdym miejscu. gdzie osoba rozlewająca zachce tę „połówkę” mieć. A ściślej rzecz biorąc, formułujemy tezę: Połowa kieliszka mieści się miedzy jego połową wysokości a całą wysokością.
Obliczamy objętość kieliszka (uwzględniając pomiary wyżej zebrane). Objętość równa się całce potrójnej z jedności po obszarze . Obszar dzielimy na dwa: oraz . Obszar składa się z obszarów (Rys. 3) a z . Układ kartezjański zamieniamy na cylindryczny.
Zamiana na zmienne walcowe po obszarze :
Rozwiązanie całki:
Zamiana na zmienne walcowe po obszarze :
Rozwiązanie całki:
Sumaryczna objętość mierzonego quasi-stożka (kieliszka) wynosi:
Połowa wysokości kieliszka znajduje się na wysokości . W sposób analogiczny do przedstawionego powyżej obliczamy objętość połówki dolnej (po obszarach ) oraz połówki górnej () otrzymując:
- Objętość połówki dolnej:
- Objętość połówki górnej:
Pierwszy wniosek: Połówki nie są sobie równe, oraz wniosek drugi – kluczowy – połowa objętości jest zawarta na przedziale względem wysokości od jej połowy do całej wysokości . Uwzględniając brak przyrządów pomiarowych (mierników) oraz błąd paralaksy ludzkiego oka udowodniliśmy tezę, iż nasza „połówka” jest zawarta na przedziale <> w naszym konkretnym badanym przypadku .
Uwagi
Dysponując aparatem matematycznym, a konkretnie rachunkiem całkowym, udowodniliśmy słuszność i prawdziwość tezy. Przedstawiona teoria dla samej matematyki i nauk pokrewnych nie jest ważna i istotna, lecz ma duże znaczenie społeczne. Bardzo dobrze sprawdza się tam, gdzie w określonej przestrzeni i w określonym czasie znajduje się wiele osób w celu zamierzonej konsumpcji. Należy brać pod uwagę, że teoria jest prawdziwa dla kieliszków w kształcie paraboloidy obrotowej lub stożka (kieliszki o tworzącej nachylonej pod kątem 0-30 stopni względem osi symetrii najlepiej nadają się do spożywania płynów). Dla kieliszków typowo cylindrycznych traci sens.