Indukcja matematyczna: Różnice pomiędzy wersjami
M (zaraz sam sobie wkleję {{test4}} ;)) |
Ostrzyciel (dyskusja • edycje) M (Wycofano ostatnie edycje autorstwa 2.50.137.12; przywrócono ostatnią wersję autorstwa Expert3222.) Znacznik: rewert |
||
(Nie pokazano 8 wersji utworzonych przez 7 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{sur|dziedziny matematyki|[[Indukcja |
{{sur|dziedziny matematyki|[[Indukcja]]}} |
||
⚫ | |||
[[Plik:Dominospiel.JPG|right|thumb|200px|Przybornik do przeprowadzania dowodów indukcyjnych]] |
|||
[[Plik: |
[[Plik:Dominospiel.JPG|thumb|200px|Przybornik do przeprowadzania dowodów indukcyjnych]] |
||
[[Plik:Domino Cascade.JPG|thumb|200px|Wystarczy tylko pchnąć...]] |
|||
'''Indukcja matematyczna''' – zabawka matematyczna, służąca do pokazywania prawdziwości różnych [[twierdzenie matematyczne|twierdzeń matematycznych]] wątpliwej przydatności. Potężne narzędzie w rękach doświadczonych matematyków, czy akademicka fanaberia służąca do pobierania [[grant]]ów i oblewania [[student]]ów? Zadecydować musisz sam. |
'''Indukcja matematyczna''' – zabawka matematyczna, służąca do pokazywania prawdziwości różnych [[twierdzenie matematyczne|twierdzeń matematycznych]] wątpliwej przydatności. Potężne narzędzie w rękach doświadczonych matematyków, czy akademicka fanaberia służąca do pobierania [[grant]]ów i oblewania [[student]]ów? Zadecydować musisz sam. |
||
Linia 10: | Linia 11: | ||
== Historia wynalazku indukcji matematycznej == |
== Historia wynalazku indukcji matematycznej == |
||
[[Plik:Bricks2.jpg |
[[Plik:Bricks2.jpg|thumb|200px|Cewka indukcyjna 110V (u góry) oraz 220V (u dołu)]] |
||
Indukcja matematyczna została wynaleziona w [[Bell Labs|Laboratoriach Bella]] w okresie największego postępu elektryfikacji miast i wsi. Miała ona stanowić tani substytut [[Cewka|cewek indukcyjnych]] dla ubogich państw, które też chciały się podłączyć do sieci 220V. Cewki matematyczne składały się z cegły i wydruku dowodu (oczywiście indukcyjnego) na fakt, że zestaw ten jest [[Inercja|układem inercyjnym]], tj. gromadzi energię w wytwarzanym polu magnetycznym. Idea cewek matematycznych została porzucona ze względu na dużą zawodność tych układów. {{fakt}} |
Indukcja matematyczna została wynaleziona w [[Bell Labs|Laboratoriach Bella]] w okresie największego postępu elektryfikacji miast i wsi. Miała ona stanowić tani substytut [[Cewka|cewek indukcyjnych]] dla ubogich państw, które też chciały się podłączyć do sieci 220V. Cewki matematyczne składały się z cegły i wydruku dowodu (oczywiście indukcyjnego) na fakt, że zestaw ten jest [[Inercja|układem inercyjnym]], tj. gromadzi energię w wytwarzanym polu magnetycznym. Idea cewek matematycznych została porzucona ze względu na dużą zawodność tych układów. {{fakt}} |
||
Linia 69: | Linia 70: | ||
::<math>S_2 = S_3 - a_3</math> |
::<math>S_2 = S_3 - a_3</math> |
||
:Złożenie ostatnich dwóch równości daje nam układ tautologiczny. Tym samym udowodniliśmy, że dowodzone twierdzenie jest [[tautologia|tautologią]]. ∎ |
:Złożenie ostatnich dwóch równości daje nam układ tautologiczny. Tym samym udowodniliśmy, że dowodzone twierdzenie jest [[tautologia|tautologią]]. ∎ |
||
⚫ | |||
{{Matematyka}} |
|||
[[Kategoria:Logika]] |
[[Kategoria:Logika]] |
||
[[Kategoria:Filozofia]] |
[[Kategoria:Filozofia]] |
Aktualna wersja na dzień 18:34, 12 cze 2020
Ten artykuł dotyczy dziedziny matematyki. Zobacz też Indukcja. |
Indukcja matematyczna – zabawka matematyczna, służąca do pokazywania prawdziwości różnych twierdzeń matematycznych wątpliwej przydatności. Potężne narzędzie w rękach doświadczonych matematyków, czy akademicka fanaberia służąca do pobierania grantów i oblewania studentów? Zadecydować musisz sam.
Schemat ogólny[edytuj • edytuj kod]
Każdy dowód matematyczny przeprowadzony przy pomocy indukcji matematycznej sprowadza się do następującego schematu:
- Wskazujesz jeden lub więcej konkretnych przykładów potwierdzających prawdziwość twojego twierdzenia. Jest to tak zwana baza indukcji.
- Zakładając, że twoje twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby przypadków, dowodzisz, że jest ono prawdziwe również dla dowolnej plus jeden liczby przypadków. Jest to tak zwany krok indukcyjny.
Historia wynalazku indukcji matematycznej[edytuj • edytuj kod]
Indukcja matematyczna została wynaleziona w Laboratoriach Bella w okresie największego postępu elektryfikacji miast i wsi. Miała ona stanowić tani substytut cewek indukcyjnych dla ubogich państw, które też chciały się podłączyć do sieci 220V. Cewki matematyczne składały się z cegły i wydruku dowodu (oczywiście indukcyjnego) na fakt, że zestaw ten jest układem inercyjnym, tj. gromadzi energię w wytwarzanym polu magnetycznym. Idea cewek matematycznych została porzucona ze względu na dużą zawodność tych układów. [potrzebne źródło]
Indukcja niezupełna[edytuj • edytuj kod]
Jest to szczególny rodzaj indukcji matematycznej. Polega na tym, że wystarczy wykazać prawdziwość twierdzenia dla n=1, n=2 i n=3. Wtedy na mocy indukcji niezupełnej dla pozostałych n twierdzenie jest prawdziwe.
Indukcja matematyczna a teoria gry w domino[edytuj • edytuj kod]
Zasada indukcji matematycznej została wywiedziona wprost z zasad gry zwanej efektem domina. Gra ta polega na układaniu długiego ciągu klocków domina, tak by w finale każdy klocek, popchnięty przez swojego poprzednika, popchnął i przewrócił swojego następnika. Grający w Domino matematycy zauważyli prosty fakt: zamiast ustawiać mozolnie klocki w odpowiedni ciąg, wystarczy logicznie uzasadnić dwie rzeczy: ktoś popchnie pierwszy klocek oraz to, że jeżeli jakiś klocek zostanie przewrócony, to przewróci on także swojego następnika. Z tej genialnej w swojej prostocie reguły narodziła się zasada indukcji matematycznej.
Przykłady wykorzystania[edytuj • edytuj kod]
Parzystość wszystkich liczb[edytuj • edytuj kod]
Korzystając z indukcji matematycznej można udowodnić, że wszystkie nieujemne liczby całkowite są parzyste.
- Baza
- 0 jest liczbą całkowitą nieujemną i parzystą.
- Krok indukcyjny dla n
- Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest parzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n1 + n2, gdzie n1, n2<n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n1 i n2 są parzyste, to ich suma też jest liczbą parzystą. A więc n jest liczbą parzystą. ∎
Nieparzystość wszystkich liczb[edytuj • edytuj kod]
Korzystając z indukcji matematycznej można udowodnić, że wszystkie dodatnie liczby całkowite są nieparzyste.
- Baza
- 1 jest liczbą całkowitą dodatnią i nieparzystą.
- Krok indukcyjny dla n
- Załóżmy, że dla każdego k takiego, że k<n liczba k jest nieparzysta (założenie indukcyjne). Liczbę n można przedstawić w postaci n1 + n2 + 1, gdzie n1, n2<n. Ponieważ zgodnie z założeniem indukcyjnym n1 i n2 są nieparzyste, to ich suma plus 1 jest liczbą nieparzystą. A więc n jest liczbą nieparzystą. ∎
Wieczna środa[edytuj • edytuj kod]
Korzystając z indukcji matematycznej można udowodnić, że w rzeczywistości, każdy dzień tygodnia jest środą.
- Baza
- Za co najwyżej 6 dni na pewno będzie środa. Równocześnie ostatnia środa skończyła się także co najwyżej 6 dni temu.
- Krok indukcyjny dla n
- Załóżmy, że istnieje taki dzień tygodnia t, że t jest środą oraz wszystkie dni poprzedzające t także wypadały w środę. Należy wykazać, że dzień t+1 także wypada w środę. Ponieważ wszystkie dni poprzedzające dzień t były środą, to był nią w szczególności dzień t-6 (dzień wypadający 6 dni przed dniem t). Dzień t-6 był dokładnie tydzień przed dniem t+1, a ponieważ dni tygodnia powtarzają się cyklicznie co siedem, to dnia t+1 także była środa. ∎
Wszystkie psy są białe[edytuj • edytuj kod]
Udowodnimy teraz, że wszystkie psy są białe.
- Baza
- Na obrazku po prawej stronie
- Krok indukcyjny dla n
- Załóżmy, że dla wszystkich co najwyżej n-elementowych zbiorów psów twierdzenie jest prawdziwe. Rozważmy teraz n+1 elementowy zbiór psów, w którym wyróżnimy jednego psa. Nazwijmy go Azor.
- Załóżmy teraz nie wprost, że Azor nie jest biały. Zbiór składający się z wszystkich psów poza Azorem jest z założenia indukcyjnego zbiorem psów maści białej. Wyróżnijmy teraz innego psa, Pimpka i rozważmy zbiór składający się z Azora i pozostałych psów z wyłączeniem Pimpka. Ten zbiór także z założenia indukcyjnego składa się z psów maści białej, a więc wbrew założeniu Azor jest biały. Dochodzimy do sprzeczności przez założenie, że w zbiorze n+1 psów znajduje się pies niebiały. ∎
Suma ciągu arytmetycznego[edytuj • edytuj kod]
Udowodnimy teraz wzór na sumę skończoną ciągu arytmetycznego
- Baza
- Po podstawieniu za n liczby 2 otrzymamy
- wartość ta z definicji ciągu arytmetycznego jest równa
- Krok indukcyjny dla n
- Korzystając z bazy indukcji udowodnimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n+1. Ponieważ w bazie indukcji braliśmy n=2, w kroku indukcyjnym musi wykazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla n+1, czyli n=3:
- a z definicji ciągu arytmetycznego
- Złożenie ostatnich dwóch równości daje nam układ tautologiczny. Tym samym udowodniliśmy, że dowodzone twierdzenie jest tautologią. ∎