Teoria stożka

Teoria stożka

Kieliszki o budowie quasi-stożka

Teoria stożka – matematyczny dowód na to, dlaczego tzw. „połówka” (kieliszka) połówką nie jest.

Wstęp i założenia teoretyczne

Teoria stożka, zwana również alkoholową teorią stożka, jest pierwszym matematycznym dowodem na to, że tzw. połówka (słowo często używane w zwrocie: Nalej mi połówkę) niekoniecznie połówką być musi. Zjawisko picia „połówek” występuje głównie u kobiet, rzadziej u mężczyzn – dzięki teorii stożka pełny po brzegi kieliszek też jest połówką. Wynika to z budowy owego naczynia które jest często paraboloidą obrotową – czyli w połowie wysokości tejże przestrzennej figury jest mniej niż połowa objętości, jaką można w tej figurze umieścić.

Pomiar szkliwa (kieliszka)

Rys. 1 – tworząca stożka w układzie 2d

Do zobrazowania dowodu, który został przedstawiony poniżej, został przeprowadzony pomiar cech parametrycznych (wymiarów) kieliszka (quasi-stożka) o równoległych do siebie płaszczyznach dolnej (dna) i górnej. W teorii posługujemy się ściętym stożkiem, a nie paraboloidą obrotową, aby ułatwić zrozumienie zagadnienia – wyniki dla obu tych figur przestrzennych są niemal jednakowe. (Tworząc matematyczny obraz kieliszka jako stożka unikamy wprowadzania bardziej skomplikowanych wzorów).

• Wysokość: $H=(5.5\pm 0.1)cm$
• Promień podstawy dolnej: $r=(0.8\pm 0.1)cm$
• Promień podstawy górnej: $R=(1.9\pm 0.1)cm$

Do dalszych obliczeń błąd miernika (w tym wypadku linijki) nie będzie uwzględniany, gdyż zarówno ten błąd jak i odchyłka od wartości średniej pomiaru jest stosunkowo bardzo mała od spodziewanych wyników i nie wpływa na ostateczny wynik.

Zmierzone wartości przenosimy na dwuwymiarowy układ współrzędnych. Ważne jest, aby rysunek był zrobiony czytelnie i możliwie jak najdokładniej (Rys. 1). Otrzymując równanie tworzącej stożka $y=5x-4$. Jako, że współczynnik $a$ jest wartością funkcji tangens kąta między osią $x$, a tworzącą, otrzymujemy kąt nachylenia tworzącej 78 stopni.

Do dowodu przyjmujemy wysokość 9,5 cm gdzie:

• $\langle 0cm,4cm)$ – nierzeczywiste przedłużenie stożka tzw. nóżka
• $\langle 4cm,9.5cm\rangle$ – stożek właściwy (mierzalny), tzw. komora wódkowa lub komora szczęścia

Dowód założeń teoretycznych

Rys. 2 – quasi-stożek; granice całkowania

Rys. 3 – granice całkowania

Rys. 4 – granice całkowania

W dowodzie właściwym udowodnimy – groteskowo stwierdzając – że „połówka” występuje w każdym miejscu. gdzie osoba rozlewająca zachce tę „połówkę” mieć. A ściślej rzecz biorąc, formułujemy tezę: Połowa kieliszka mieści się miedzy jego połową wysokości a całą wysokością.

Obliczamy objętość kieliszka (uwzględniając pomiary wyżej zebrane). Objętość $V$ równa się całce potrójnej z jedności po obszarze $D$. Obszar $D$ dzielimy na dwa: $A$ oraz $B$. Obszar $A$ składa się z obszarów $D2,D4,D5$ (Rys. 3) a $B$ z $D1,D3$. Układ kartezjański zamieniamy na cylindryczny.

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze $B$:

$0\leq \varphi \leq 2\pi$

$0.8\leq \rho \leq 1.9$

$5\rho \leq \varphi \leq 9.5$

Rozwiązanie całki:

$V1=\iiint \limits _{D}1\;dx\;dy\;dz=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0.8}^{1.9}d\rho \int \limits _{5\rho }^{9.5}\rho dh$

$\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0.8}^{1.9}[\varphi h]_{5\rho }^{9.5}d\rho =\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0.8}^{1.9}({9.5\rho }-{5\rho ^{2}})d\rho =$

$=2\pi \left[\left({{9.5*1.9^{2}} \over 2}-{{5*1.9^{3}} \over 3}\right)-\left({{9.5*0.8^{2}} \over 2}-{{5*0.8^{3}} \over 3}\right)\right]=22.2$

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze $A$:

$0\leq \varphi \leq 2\pi$

$0\leq \rho \leq 0.8$

$4\leq \varphi \leq 9.5$

Rozwiązanie całki:

$V2=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{0.8}d\rho \int \limits _{4}^{9.5}\rho dh$

$\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{0.8}[\varphi h]_{4}^{9.5}d\rho =\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{0.8}({9.5\rho }-{4\rho })d\rho =2\pi \left[{{5.5\rho ^{2}} \over 2}\right]_{0}^{0.8}=11.1$

Sumaryczna objętość $V$ mierzonego quasi-stożka (kieliszka) wynosi:

$V=V1+V2=22.2+11.1=33.3ml$

Połowa wysokości kieliszka $h$ znajduje się na wysokości $6.75cm$. W sposób analogiczny do przedstawionego powyżej obliczamy objętość połówki dolnej (po obszarach $D1;D2$) oraz połówki górnej ($D3;D4;D5$) otrzymując:

• Objętość połówki dolnej: $Vd=10.1ml$
• Objętość połówki górnej: $Vg=23.2ml$
• $Vd<Vg$

Pierwszy wniosek: Połówki nie są sobie równe, oraz wniosek drugi – kluczowy – połowa objętości jest zawarta na przedziale względem wysokości od jej połowy do całej wysokości $H$. Uwzględniając brak przyrządów pomiarowych (mierników) oraz błąd paralaksy ludzkiego oka udowodniliśmy tezę, iż nasza „połówka” jest zawarta na przedziale <$1/2H,H$> w naszym konkretnym badanym przypadku $\langle 6.75cm,9.5cm\rangle$.

Uwagi

Dysponując aparatem matematycznym, a konkretnie rachunkiem całkowym, udowodniliśmy słuszność i prawdziwość tezy. Przedstawiona teoria dla samej matematyki i nauk pokrewnych nie jest ważna i istotna, lecz ma duże znaczenie społeczne. Bardzo dobrze sprawdza się tam, gdzie w określonej przestrzeni i w określonym czasie znajduje się wiele osób w celu zamierzonej konsumpcji. Należy brać pod uwagę, że teoria jest prawdziwa dla kieliszków w kształcie paraboloidy obrotowej lub stożka (kieliszki o tworzącej nachylonej pod kątem 0-30 stopni względem osi symetrii najlepiej nadają się do spożywania płynów). Dla kieliszków typowo cylindrycznych traci sens.